### 学习目标 理解"Functions Describe the World"的核心理念 掌握从Excel到神经网络的演进逻辑 理解函数组合与层级抽象的思想 ### 核心理念：函数描述世界 #### 从物理定律说起 物理学用简洁的函数描述复杂现象： ---------------------------------- 现象 函数 发现者 ---------- -------------- -------- 自由落体 h = ½gt² 伽利略 万有引力 F = Gm₁m₂/r² 牛顿 电磁感应 ε = -dΦ/dt 法拉第 ---------------------------------- 这些函数的共同特点：**用数学关系描述客观规律** #### AI的函数观 AI延续了这一传统：**用函数从数据中学习规律** `数据`` → ``函数`` → ``预测``/``决策`\ ` x → f(x) → y` 从Excel到神经网络 线性回归：y = ax + b 在Excel中，我们经常做线性拟合： `房价`` ≈ 0.015 × ``面积`` + 50``万`\ ` y = a × x + b` 这就是一个最简单的"AI模型"：**单变量线性函数** 多元回归：y = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + b 增加更多特征： `房价`` ≈ 0.01 × ``面积`` + 0.5 × ``卧室数`` + 0.3 × ``地段评分`` - 20``万` 这就是**单层神经元**的数学形式！ 函数组合：层级嵌套 现实世界的关系往往是非线性的，需要函数组合： `h₁ = f₁(x) # ``第一层：提取特征` `h₂ = f₂(h₁) # ``第二层：组合特征` `y = f₃(h₂) # ``第三层：输出结果` 这就是**多层神经网络**的本质！ ### 函数组合的威力 为什么需要多层？ **单层函数**只能学习简单的线性关系 **多层函数**可以学习任意复杂的非线性关系 直观例子：识别圆形 `输入：像素点灰度值`\ ` ↓`\ `第一层：检测边缘（梯度变化）`\ ` ↓`\ `第二层：组合边缘成弧线`\ ` ↓`\ `第三层：判断是否闭合`` → ``圆形` 每一层都是一个函数，层层组合形成复杂能力。 ### 数据驱动 vs 规则驱动 #### 规则驱动 `# ``传统编程：人工编写规则`\ `def`` ``is_circle``(image):`\ ` edges ``=`` ``detect_edges``(image)`\ ` ``if`` ``edges.is_closed``() ``and`` ``edges.is_round``():`\ ` ``return`` ``True`\ ` ``return`` ``False` **问题**：规则难以穷举，无法处理复杂情况 #### 数据驱动 `# AI``：从数据中学习函数`\ `f ``=`` ``neural_network``()`\ `train(f, ``thousands_of_examples``)`\ `result ``=`` f(``new_image``) ``# ``自动判断` **优势**：自动发现规律，适应复杂情况 ### 神经网络的函数本质 数学表示 一个L层神经网络： `y = ``f_L``(f_{L-``1}(``...f_₂(f₁(x))))` 其中每一层： `h = ``σ(``Wx`` + b)` W：权重矩阵（可学习参数） b：偏置向量（可学习参数） σ：激活函数（引入非线性） #### 视觉理解 `输入层`` ``隐藏层`` ``输出层`\ ` x ``h₁,h₂,h``₃ y`\ ` ● ──────────→ ○ ──────────→ ●`\ ` │ ○ │`\ ` ● ──────────→ ○ ──────────→ ●`\ ` │ ○ │`\ ` ● ──────────→ ○ ──────────→ ●`\ ` ``权重``W₁ ``权重``W₂` 箭头上的权重就是函数的参数，通过学习自动确定。 ### 思考与练习 1.列举3个日常生活中"用函数描述世界"的例子 2.为什么单层函数无法学习异或（XOR）问题？ 3.思考：设计中有哪些问题可以用"数据驱动函数"的思路解决？ ### 关键术语 ------------------------------------------------------------ 中文 英文 说明 ---------- --------------------- --------------------------- 线性回归 Linear Regression y = ax + b 形式的函数拟合 多元回归 Multiple Regression 多输入变量的线性模型 权重 Weight 神经网络中的可学习参数 偏置 Bias 调整输出基准的参数 非线性 Non-linearity 无法用直线表示的关系 ------------------------------------------------------------ ### 延伸阅读 [Neural Networks and Deep Learning](http://neuralnetworksanddeeplearning.com/) - 在线书籍