2026_DesignAI/02-foundations/01.1-math-foundation.md

学习目标

理解"Functions Describe the World"的核心理念

掌握从Excel到神经网络的演进逻辑

理解函数组合与层级抽象的思想

核心理念：函数描述世界

从物理定律说起

物理学用简洁的函数描述复杂现象：

---

现象 函数 发现者

---

自由落体 h = ½gt² 伽利略

万有引力 F = Gm₁m₂/r² 牛顿

电磁感应 ε = -dΦ/dt 法拉第

这些函数的共同特点：用数学关系描述客观规律

AI的函数观

AI延续了这一传统：用函数从数据中学习规律

数据`` → ``函数`` → ``预测``/``决策
x → f(x) → y

从Excel到神经网络

线性回归：y = ax + b

在Excel中，我们经常做线性拟合：

房价`` ≈ 0.015 × ``面积`` + 50``万
y = a × x + b

这就是一个最简单的"AI模型"：单变量线性函数

多元回归：y = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + b

增加更多特征：

房价`` ≈ 0.01 × ``面积`` + 0.5 × ``卧室数`` + 0.3 × ``地段评分`` - 20``万

这就是单层神经元的数学形式！

函数组合：层级嵌套

现实世界的关系往往是非线性的，需要函数组合：

h₁ = f₁(x) # ``第一层：提取特征

h₂ = f₂(h₁) # ``第二层：组合特征

y = f₃(h₂) # ``第三层：输出结果

这就是多层神经网络的本质！

函数组合的威力

为什么需要多层？

单层函数只能学习简单的线性关系

多层函数可以学习任意复杂的非线性关系

直观例子：识别圆形

输入：像素点灰度值
↓
第一层：检测边缘（梯度变化）
↓
第二层：组合边缘成弧线
↓
第三层：判断是否闭合`` → ``圆形

每一层都是一个函数，层层组合形成复杂能力。

数据驱动 vs 规则驱动

规则驱动

# ``传统编程：人工编写规则
def`` ``is_circle``(image):
edges ``=`` ``detect_edges``(image)
``if`` ``edges.is_closed``() ``and`` ``edges.is_round``():
``return`` ``True
``return`` ``False

问题：规则难以穷举，无法处理复杂情况

数据驱动

# AI``：从数据中学习函数
f ``=`` ``neural_network``()
train(f, ``thousands_of_examples``)
result ``=`` f(``new_image``) ``# ``自动判断

优势：自动发现规律，适应复杂情况

神经网络的函数本质

数学表示

一个L层神经网络：

y = ``f_L``(f_{L-``1}(``...f_₂(f₁(x))))

其中每一层：

h = ``σ(``Wx`` + b)

W：权重矩阵（可学习参数）

b：偏置向量（可学习参数）

σ：激活函数（引入非线性）

视觉理解

输入层`` ``隐藏层`` ``输出层
x ``h₁,h₂,h``₃ y
● ──────────→ ○ ──────────→ ●
│ ○ │
● ──────────→ ○ ──────────→ ●
│ ○ │
● ──────────→ ○ ──────────→ ●
``权重``W₁ ``权重``W₂

箭头上的权重就是函数的参数，通过学习自动确定。

思考与练习

1.列举3个日常生活中"用函数描述世界"的例子

2.为什么单层函数无法学习异或（XOR）问题？

3.思考：设计中有哪些问题可以用"数据驱动函数"的思路解决？

关键术语

---

中文 英文 说明

---

线性回归 Linear Regression y = ax + b 形式的函数拟合

多元回归 Multiple Regression 多输入变量的线性模型

权重 Weight 神经网络中的可学习参数

偏置 Bias 调整输出基准的参数

非线性 Non-linearity 无法用直线表示的关系

延伸阅读

Neural Networks and Deep Learning - 在线书籍